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勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学２年 数学 ～
Lesson 39 平行四辺形になる条件
第５章 図形と合同
＜前：Ｌ３９- 平行四辺形になる条件 の問題 Ｌ４０- 特別な平行四辺形 の問題：次＞
※証明の方法は、以下の解答の他にも色々あるかもしれないよ！
他の方法を見つけるのもとても勉強になるので、ぜひ探してみてね！
【練習問題１】
右図のような四角形ＡＢＣ Ｄで、ＡＢ＝ＤＣ，ＡＤ＝ＢＣ ならば、ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣとなる。
このことを証明をしなさい。
≪答≫
対角線ＢＤをひく
△ＡＢＤと△Ｃ ＤＢにおいて、
仮定より、
ＡＢ＝ＤＣ ・・・(1)
ＡＤ＝ＢＣ ・・・(2)
また、ＢＤは共通なので、
ＢＤ＝ＤＢ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、３組の辺がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＤ≡△Ｃ ＤＢ
合同な図形の対応する角は等しいので、
∠ＡＢＤ＝∠Ｃ ＤＢ
∠ＡＤＢ＝∠Ｃ ＢＤ
よって、錯角が等しいので、
ＡＢ∥ＤＣ， ＡＤ∥ＢＣ
【練習問題２】
右図の四角形ＡＢＣ Ｄで、対角線の交点をＯとする。
このとき、 ＡＯ＝Ｃ Ｏ，ＢＯ＝ＤＯならば、ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣとなる。
このことを証明をしなさい。
≪答≫
△ＡＢＯと△Ｃ ＤＯにおいて、
仮定より、
ＡＯ＝Ｃ Ｏ ・・・(1)
ＢＯ＝ＤＯ ・・・(2)
対頂角は等しいので、
∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＯ≡△Ｃ ＤＯ
また、△ＡＤＯと△Ｃ ＢＯにおいて、
仮定より、
ＡＯ＝Ｃ Ｏ ・・・(4)
ＢＯ＝ＤＯ ・・・(5)
対頂角は等しいので、
∠ＡＯＤ＝∠ＣＯＢ ・・・(6)
(4)，(5)，(6)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＤＯ≡△Ｃ ＢＯ
合同な図形の対応する角は等しいので、
∠ＡＢＯ＝∠Ｃ ＤＯ
∠ＡＤＯ＝∠Ｃ ＢＯ
よって、錯角が等しいので、
ＡＢ∥ＤＣ， ＡＤ∥ＢＣ
【練習問題３】
右図の四角形ＡＢＣ Ｄは、ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣである。
このとき、四角形ＡＢＣ Ｄが平行四辺形であることを証明しなさい。
≪答≫
対角線ＢＤをひく
△ＡＢＤと△Ｃ ＤＢにおいて、
仮定より、
ＡＤ＝Ｃ Ｂ ・・・(1)
∠ＡＤＢ＝∠Ｃ ＢＤ ・・・(2)
また、ＢＤは共通なので、
ＢＤ＝ＤＢ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＤ≡△Ｃ ＤＢ
合同な図形の対応する辺は等しいので、
ＡＢ＝Ｃ Ｄ ・・・(4)
(1)，(4)から、２組の向かい合う辺がぞれぞれ等しいので、
四角形ＡＢＣ Ｄは、平行四辺形である
【練習問題４】
右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄで、∠Ｂ，∠Ｄの二等分線と、辺ＡＤ，ＢＣ の交点をそれそれＰ，Ｑとする。
このとき、四角形ＰＢＱ Ｄが平行四辺形であることを証明しなさい。
≪答≫
平行四辺形の対角はそれぞれ等しく、
∠Ｂ＝∠Ｄ
よって、
∠ＱＢＰ＝∠Ｂ÷２
∠ＰＤＱ＝∠Ｄ÷２
したがって
∠ＱＢＰ＝∠ＰＤＱ ・・・(1)
ＡＤ∥ＢＣで、錯角は等しいので、
∠ＰＤＱ＝∠ＣＱＤ ・・・(2)
(1)，(2)より、
∠ＱＢＰ＝∠ＣＱＤ
よって、同位角が等しいので、
ＰＢ∥ＤＱ ・・・(3)
また、ＡＤ∥ＢＣより、
ＰＤ∥ＢＱ ・・・(4)
(3)，(4)から、２組の対辺がぞれぞれ平行なので、
四角形ＰＢＱ Ｄは、平行四辺形である
【練習問題５】
右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄの辺ＡＤ，ＢＣ上に、ＢＱ＝ＤＰとなるように点Ｐ，Ｑをとる。
このとき、ＡＱ Ｃ Ｐが平行四辺形であることを証明しなさい。
≪答≫
四角形ＡＱ Ｃ Ｐにおいて、
ＡＤ∥ＢＣなので、
ＡＰ∥ＱＣ ・・・(1)
また、
ＡＰ＝ＡＤ－ＤＰ
ＱＣ＝ＢＣ－ＢＱ
ＡＤ＝ＢＣ，ＢＱ＝ＤＰなので、
ＡＰ＝ＱＣ ・・・(2)
(1)，(2)から、１組の向かい合う辺が、等しくて平行なので、
四角形ＡＱ Ｃ Ｐは、平行四辺形である
【練習問題６】
右図は平行四辺形ＡＢＣ Ｄで、ＡＳ＝ＢＰ＝Ｃ Ｑ＝ＤＲである。
このとき、四角形ＰＱＲＳが平行四辺形であることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＰＳと△ＣＲＱにおいて、
仮定より、
ＡＳ＝ＣＱ ・・・(1)
平行四辺形の対角は等しいので、
∠Ａ＝∠Ｃ ・・・(2)
また、
ＡＰ＝ＡＢ－ＢＰ
Ｃ Ｒ＝Ｃ Ｄ－ＤＲ
ＡＢ＝Ｃ Ｄ，ＢＰ＝ＤＲなので、
ＡＰ＝Ｃ Ｒ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)から、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＰＳ≡△Ｃ ＲＱ
よって、
ＰＳ＝ＲＱ ・・・(4)
また、△ＢＰＱと△ＤＲＳにおいても同様にして、
ＰＱ＝ＲＳ ・・・(5)
(4)，(5)より、２組の向かい合う辺がそれぞれ等しいので、
四角形ＰＱＲＳは、平行四辺形である
【練習問題７】
右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄの対角線ＢＤ上に、ＢＰ＝ＤＱとなるような点Ｐ，Ｑをとる。
このとき、四角形ＡＰＣＱが平行四辺形であることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＢＰと△Ｃ ＤＱにおいて、
仮定より、
ＢＰ＝ＤＱ ・・・(1)
平行四辺形の対辺は等しいので、
ＡＢ＝Ｃ Ｄ ・・・(2)
ＡＢ∥ＤＣで錯角は等しいので、
∠ＡＢＰ＝∠Ｃ ＤＱ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)から、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＰ≡△Ｃ ＤＱ
よって、
ＡＰ＝ＣＱ ・・・(4)
また、△ＢＣ Ｐと△ＤＡＱにおいても同様にして、
ＰＣ＝ＱＡ ・・・(5)
(4)，(5)より、２組の向かい合う辺がそれぞれ等しいので、
四角形ＰＱＲＳは、平行四辺形である
【練習問題８】
右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄの対角線ＢＤ上に、頂点Ａ，Ｃ から垂線をひき、交点をそれぞれＰ，Ｑとする。
このとき、四角形ＡＰＣＱが平行四辺形であることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＢＰと△Ｃ ＤＱにおいて、
仮定より、
∠ＡＰＢ＝ＣＱＤ＝９０° ・・・(1)
平行四辺形の対辺は等しいので、
ＡＢ＝Ｃ Ｄ ・・・(2)
ＡＢ∥ＤＣで錯角は等しいので、
∠ＡＢＰ＝∠Ｃ ＤＱ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)から、直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＰ≡△Ｃ ＤＱ
よって、
ＡＰ＝ＣＱ ・・・(4)
また、∠ＡＰＱ＝∠ＣＱＰ＝９０°より、錯角が等しいので、
ＡＰ∥ＣＱ ・・・(5)
(4)，(5)より、１組の向かい合う辺が、等しくて平行なので、
四角形ＡＰＣＱは、平行四辺形である
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