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勉強しないで後悔するくらいなら、
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勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学２年 数学 ～
Lesson 38 平行四辺形の性質
第５章 図形と合同
＜前：Ｌ３８- 平行四辺形の性質 の問題 Ｌ３９- 平行四辺形になる条件 の問題：次＞
※証明の方法は、以下の解答の他にも色々あるかもしれないよ！
他の方法を見つけるのもとても勉強になるので、ぜひ探してみてね！
【練習問題１】
右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄは、ＡＢ＝ＨＦ，ＡＤ＝ＥＧである。
このとき、ａ～ｄの長さと、ｅ～ｆの角度の大きさを答えなさい。
≪答≫
ａ：６ｃｍ， ｂ：８ｃｍ， ｃ：４ｃｍ， ｄ：６ｃｍ
ｅ：１０２°， ｆ：７８°， ｇ：１０２°
【練習問題２】
右図のような四角形ＡＢＣ Ｄで、ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ ならば、ＡＢ＝ＤＣ，ＡＤ＝ＢＣとなる。
このことを証明をしなさい。
≪答≫
対角線ＢＤをひく
△ＡＢＤと△Ｃ ＤＢにおいて、
ＡＢ∥ＤＣで錯角は等しいので、
∠ＡＢＤ＝∠Ｃ ＤＢ ・・・(1)
ＡＤ∥ＢＣで錯角は等しいので、
∠ＡＤＢ＝∠Ｃ ＢＤ ・・・(2)
また、ＢＤは共通なので、
ＢＤ＝ＤＢ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＤ≡△Ｃ ＤＢ
合同な図形の対応する辺は等しいので、
ＡＢ＝ＤＣ， ＡＤ＝ＢＣ
【練習問題３】
右図のような四角形ＡＢＣ Ｄで、ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ ならば、∠Ａ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄとなる。
このことを証明をしなさい。
≪答≫
【練習問題(2)】より、
△ＡＢＤ≡△Ｃ ＤＢなので、
∠Ａ＝∠Ｃ
∠Ｂ＝∠ＡＢＤ＋∠Ｃ ＢＤ
∠Ｄ＝∠Ｃ ＤＢ＋∠ＡＤＢ
ここで、
∠ＡＢＤ＝∠Ｃ ＤＢ，∠ＡＤＢ＝∠Ｃ ＢＤなので、
∠Ｂ＝∠Ｄ
よって、
∠Ａ＝∠Ｃ， ∠Ｂ＝∠Ｄ
【練習問題４】
右図の四角形ＡＢＣ Ｄで、対角線の交点をＯとする。
このとき、ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ ならば、ＡＯ＝Ｃ Ｏ，ＢＯ＝ＤＯとなる。
このことを証明をしなさい。
≪答≫
△ＡＢＯと△Ｃ ＤＯにおいて、
ＡＢ∥ＤＣで錯角は等しいので、
∠ＡＢＯ＝∠Ｃ ＤＯ ・・・(1)
∠ＢＡＯ＝∠ＤＣ Ｏ ・・・(2)
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので、
ＡＢ＝ＤＣ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＯ≡△Ｃ ＤＯ
合同な図形の対応する辺は等しいので、
ＡＯ＝Ｃ Ｏ， ＢＯ＝ＤＯ
【練習問題５】
右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄで、対角線の交点Ｏを通る直線をひき、辺ＡＢ，Ｃ Ｄとの交点をそれぞれＰ，Ｑとする。
このとき、ＰＯ＝ＱＯであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＰＢＯと△Ｑ ＤＯにおいて、
ＡＢ∥ＤＣで錯角は等しいので、
∠ＰＢＯ＝∠Ｑ ＤＯ ・・・(1)
対頂角は等しいので、
∠ＰＯＢ＝∠ＱＯＤ ・・・(2)
平行四辺形ＡＢＣ Ｄより、
ＢＯ＝ＤＯ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ＰＢＯ≡△Ｑ ＤＯ
合同な図形の対応する辺は等しいので、
ＰＯ＝ＱＯ
【練習問題６】
右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄで、∠Ａの二等分線と辺ＢＣ の交点をＰとし、またＤＣ の延長線との交点をＱとする。
このとき、ＡＤ＝ＤＱであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＤＡＱにおいて、
仮定より、
∠ＤＡＱ＝∠ＢＡＱ ・・・(1)
ＡＢ∥ＤＣで錯角は等しいので、
∠ＢＡＱ＝∠ＤＱＡ ・・・(2)
(1)，(2)より、
∠ＤＡＱ＝∠ＤＱＡ
２つの角が等しいので、
△ＤＡＱは、二等辺三角形である
よって、
ＡＤ＝ＤＱ
【練習問題７】
右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄの対角線の交点をＯとし、ＯＰ＝ＯＱとなるようにＡＣ上に点Ｐ，Ｑをとる。
このとき、△ＡＤＰ≡△Ｃ ＢＱであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＤＰと△Ｃ ＢＱにおいて、
平行四辺形ＡＢＣ Ｄより、
ＡＤ＝Ｃ Ｂ ・・・(1)
ＡＤ∥ＢＣで錯角は等しいので、
∠ＤＡＰ＝∠ＢＣ Ｑ ・・・(2)
ＰＡ＝ＯＡ－ＯＰ
ＱＣ＝ＯＣ－ＯＱ
ここで、
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＰ＝ＯＱなので、
ＰＡ＝ＱＣ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＤＰ≡△Ｃ ＢＱ
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