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勉強すれば、後悔なんてしない。
~ 中学2年 数学 ~
Lesson 36 直角三角形の合同
第5章 図形と合同
<前:L36- 直角三角形の合同 の問題 L37- 三角形の合同の証明 の問題:次>
※証明の方法は、以下の解答の他にも色々あるかもしれないよ!
他の方法を見つけるのもとても勉強になるので、ぜひ探してみてね!
【練習問題1】
直角三角形A,B,Cと合同な直角三角形をア~オの中から選びなさい。
また、その合同条件も答えなさい。
≪答≫
[A] イ, 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
[B] エ, 1つの辺とその両端の角がそれぞれ等しい
[C] オ, 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
【練習問題2】
右図で、∠XOYの内部の点Pから、2辺OX,OYにひいた垂線PA,PBの長さは等しい。
このとき、OPは∠XOYの二等分線であることを証明しなさい。
≪答≫
△APOと△BPO において、
仮定より、
PA=PB ・・・(1)
∠PAO=∠PBO=90° ・・・(2)
POは共通なので、
PO=PO ・・・(3)
(1),(2),(3)より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、
△APO≡△BPO
合同な図形の対応する角は等しいので、
∠AOP=∠BOP
よって、
OPは∠XOYの二等分線である
【練習問題3】
右図において、∠B=90°の直角三角形ABC の∠BAC の二等分線と辺BC との交点Dをとり、点DからAC に垂線をひき、その交点をEとする。
このとき、BD=EDであることを証明しなさい。
≪答≫
△ABDと△AED において、
仮定より、
∠BAD=∠EAD ・・・(1)
∠ABD=∠AED=90° ・・・(2)
ADは共通なので、
AD=AD ・・・(3)
(1),(2),(3)より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
△ABD≡△AED
合同な図形の対応する辺は等しいので、
BD=ED
【練習問題4】
右図のように、直線mと交わりAO=BOとなるような線分ABをひき、線分の両端A,Bから直線mに垂線AP,BQをひく。
このとき、AP=BQであることを証明しなさい。
≪答≫
△AOPと△BOQ において、
仮定より、
AO=BO ・・・(1)
∠APO=∠BQO=90° ・・・(2)
対頂角は等しいので、
∠AOP=∠BOQ ・・・(3)
(1),(2),(3)より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
△AOP≡△BOQ
合同な図形の対応する辺は等しいので、
AP=BQ
【練習問題5】
右図のように、直角二等辺三角形ABC の頂角Aを通る直線mに、B,C から垂線BD,C Eをひく。
このとき、以下の証明しなさい。
[1] △ABD≡△CAE
≪答≫
△ABDと△C AE において、
仮定より、
AB=CA ・・・(1)
∠ADB=∠C EA=90° ・・・(2)
また、
∠ABD=180°-∠ADB(90°)-∠DAB
∠CAE=180°-∠BAC(90°)-∠DAB
∠ABD=90°-∠DAB
∠CAE=90°-∠DAB
よって、
∠ABD=∠CAE ・・・(3)
(1),(2),(3)より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
△ABD≡△C AE
[2] BD+C E=DE
≪答≫
[1]より、△ABD≡△C AE なので、
BD=AE ・・・(1)
AD=C E ・・・(2)
AD+AE=DEなので、
(1),(2)より、
BD+C E=DE
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