中学生 勉強なんて 怖くない
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勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
~ 中学2年 数学 ~
Lesson 35 二等辺三角形(2)
第5章 図形と合同
<前:L35- 二等辺三角形(2) の問題 L36- 直角三角形の合同 の問題:次>
※証明の方法は、以下の解答の他にも色々あるかもしれないよ!
他の方法を見つけるのもとても勉強になるので、ぜひ探してみてね!
【練習問題1】
以下のことがらの逆を書きなさい。
ただし、逆が成り立たないときは、×とその理由を書きなさい。
[練] 彼はイケメンなので、女の子に人気がある。
≪答≫ ×, 女の子に人気があるのがイケメンとは限らない
[1] △ABCで、AB=AC ならば、∠B=∠Cである。
≪答≫ 〇, △ABCで、∠B=∠Cならば、AB=AC である
[2] △ABCと△DEFにおいて、△ABC≡△DEFならば、AB=DE,BC=EF,CA=FDである。
≪答≫ 〇, △ABCと△DEFにおいて、AB=DE,BC=EF,CA=FDならば、△ABC≡△DEFである
[3] △ABCと△DEFにおいて、△ABC≡△DEFならば、∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠Fである。
≪答≫ ×, 3つの角が等しくても、合同とは限らない
[4] 2つの直線に1つの直線が交わっているとき、2つの直線が平行ならば、錯角は等しい。
≪答≫ 〇, 2つの直線に1つの直線が交わっているとき、錯角が等しいならば、2つの直線は平行である
[5] 整数a,bで、aもbも偶数ならば、a+bは偶数である。
≪答≫ ×, a+bが偶数でも、整数a,bが両方とも偶数とは限らない。奇数+奇数も偶数である
[6] △ABCで、∠A=90°ならば、∠B+∠C=90°である。
≪答≫ 〇, △ABCで、∠B+∠C=90°ならば、∠A=90°である
[7] △ABCと△DEFにおいて、△ABC≡△DEFならば、△ABCと△DEFの面積は等しい。
≪答≫ ×, △ABCと△DEFの面積は等しくても、△ABC≡△DEFとは限らない
【練習問題2】
右図の△ABC はAB=BC=CA である。
このとき、∠A=∠B=∠C であることを証明しなさい。
≪答≫
△ABC において、
仮定よりAB=BC=CA ・・・(1)
(1)より、
AB=BC
よって、△ABC は∠Bを頂角とする二等辺三角形とみることができる。
二等辺三角形の底角は等しいので、
∠A=∠C ・・・(2)
また、(1)より、
BC=CA
よって、△ABC は∠C を頂角とする二等辺三角形とみることができる。
二等辺三角形の底角は等しいので、
∠A=∠B ・・・(3)
(2),(3)より、
∠A=∠B=∠C
【練習問題3】
右図の△ABC は、3つの内角が等しい三角形は正三角形である。
このことを証明しなさい。
≪答≫
△ABC において、
仮定より∠A=∠B=∠C ・・・(1)
(1)より、
∠A=∠B
よって、△ABC は∠Cを頂角とする二等辺三角形とみることができるので、
AC=BC ・・・(2)
また、(1)より、
∠B=∠C
よって、△ABC は∠A を頂角とする二等辺三角形とみることができるので、
AB=AC ・・・(3)
(2),(3)より、
AB=BC=AC
3つの辺が等しいので、
△ABCは正三角形である
【練習問題4】
右図で、△ABCはAB=AC の二等辺三角形で、点D,Eは、辺BC の延長線上にあり、∠BAD=CAEである。
このとき、△ADEが二等辺三角形であることを証明しなさい。
≪答≫
△ABDと△AC Eで、
仮定より
∠BAD=∠CAE ・・・(1)
AB=AC ・・・(2)
△ABCはAB=AC の二等辺三角形なので、
∠ABC=∠AC B
∠ABD=180°-∠ABC
∠AC E=180°-∠AC B
よって、
∠ABD=∠AC E ・・・(3)
(1),(2),(3)より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ABD≡△AC E
合同な図形の対応する角は等しいので、
∠ADB=∠AEC
2つの角が等しいので、
△ADEは二等辺三角形
【練習問題5】
右図の△ABC は正三角形である。
点D,Eはそれぞれ辺AB,AC 上の点で、AD=C Eである。
このとき、C D=BEであることを証明しなさい。
≪答≫
△DACと△EBCで、
仮定より
AD=CE ・・・(1)
△ABCは正三角形なので、
C A=BC ・・・(2)
∠DAC=∠EC B ・・・(3)
(1),(2),(3)より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△DAC≡△EBC
合同な図形の対応する辺は等しいので、
C D=BE
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