中学３年数学練習問題　三平方の定理/空間図形への利用(2)

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三平方の定理／空間図形への利用（２）

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学３年　数学　～

Lesson 45　　　空間図形への利用（２）

第７章　三平方の定理

＜前：Ｌ４５- 空間図形への利用(2) の問題　　『第７章三平方の定理』の復習テストの問題：次＞

$三平方の定理$

【練習問題１】
右図は１辺が４ｃｍの立方体で、点Ｐ，Ｑはそれぞれ辺ＢＦ，ＤＨの中点である。
このとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　ＣＥの長さを求めなさい。

　　ＣＥはこの立方体の対角線なので、
　　ＣＥ＝ $平方根$ ３×４
　　　　＝４ $平方根$ ３

　　≪答≫　４ $平方根$ ３ｃｍ

［２］　ＰＱの長さを求めなさい。

　　ＰＱ＝ＦＨなので、△ＥＦＨをみると、
　　ＦＨ＝ $平方根$ ４²＋４²
　　　　＝ $平方根$ ３２
　　　　＝４ $平方根$ ２

　　≪答≫　４ $平方根$ ２ｃｍ

［３］　四角形ＣＰＥＱの面積を求めなさい。

　　ひし形の面積＝対角線×対角線÷２なので、
　　　　４ $平方根$ ３×４ $平方根$ ２÷２
　　　＝８ $平方根$ ６

　　≪答≫　８ $平方根$ ６ｃｍ²

　　　※注意
　　　四角形ＣＰＥＱは正方形じゃないから気を付けよう！
　　　正方形の対角線の長さは等しいけど、四角形ＣＰＥＱは４辺の長さが等しくて、
　　　対角線ＣＥとＰＱの長さは等しくないから、ひし形だね！

$三平方の定理$

【練習問題２】
右図は表面積が３６ｃｍ²立方体で、点Ｐは辺ＢＣの中点である。
このとき以下の質問に答えなさい。

［１］　立方体の１辺の長さを求めなさい。

　　＜正方形１面の面積を求める＞
　　　正方形６面で３６ｃｍ²なので、
　　　３６÷６＝６（ｃｍ²）

　　＜１辺の長さを求める＞
　　　立方体の１辺の長さをａとすると、正方形１面は、
　　　ａ²＝６
　　　ａ＝± $平方根$ ６

　　　ｘ＞０なので、
　　　ａ＝ $平方根$ ６

　　≪答≫　 $平方根$ ６ｃｍ

［２］　△ＡＦＰの面積を求めなさい。

　　ＡＰ＝ＦＰなので、△ＡＦＰは二等辺三角形とわかる。
　　点ＰからＡＦに垂線をひき、交点を点Ｑとする。

　　＜ＡＦの長さを求める＞
　　　△ＡＢＦにおいて、
　　　[１]よりＡＢ＝ＢＦ＝ $平方根$ ６ｃｍなので、
　　　ＡＦ²＝（ $平方根$ ６）²＋（ $平方根$ ６）²
　　　ＡＦ²＝１２
　　　ＡＦ＝± $平方根$ １２

　　　ＡＦ＞０なので、
　　　ＡＦ＝ $平方根$ １２
　　　　　＝２ $平方根$ ３（ｃｍ）

　　＜ＡＰの長さを求める＞
　　　△ＡＢＰにおいて、
　　　ＡＢ＝ $平方根$ ６ｃｍ，　ＢＰ＝ $平方根$ ６２ｃｍ　なので、
　　　ＡＰ²＝（ $平方根$ ６）²＋（ $平方根$ ６２）²
　　　ＡＰ²＝６＋３２
　　　ＡＰ²＝１５２
　　　ＡＰ＝± $平方根$ １５ $平方根$ ２

　　　ＡＰ＞０なので、
　　　ＡＰ＝ $平方根$ １５ $平方根$ ２（ｃｍ）
　　　有理化すると、
　　　ＡＰ＝ $平方根$ １５× $平方根$ ２ $平方根$ ２× $平方根$ ２
　　　ＡＰ＝ $平方根$ ３０２（ｃｍ）

　　＜ＰＱの長さを求める＞
　　　△ＡＰＱにおいて、
　　　ＡＱ＝ＡＦ÷２＝ $平方根$ ３ｃｍ，　ＡＰ＝ $平方根$ ３０２ｃｍ　なので、
　　　ＰＱ²＋ $平方根$ ３²＝（ $平方根$ ３０２）²
　　　ＰＱ²＋３＝３０４
　　　ＰＱ²＝３０４－１２４
　　　ＰＱ²＝１８４
　　　ＰＱ＝± $平方根$ １８２

　　　ＰＱ＞０なので、
　　　ＰＱ＝ $平方根$ １８２
　　　　　＝３ $平方根$ ２２（ｃｍ）

　　＜△ＡＦＰの面積を求める＞
　　　ＡＦ×ＰＱ÷２なので、
　　　　２ $平方根$ ３×３ $平方根$ ２２÷２
　　　＝３ $平方根$ ６２（ｃｍ²）

　　≪答≫　３ $平方根$ ６２ｃｍ²

$三平方の定理$

【練習問題３】
右図は円すいの展開図である。
以下の質問に答えなさい。
　　※長さの単位はｃｍとする

［１］　底面の半径を求めなさい。

　　＜円の円周を求める＞
　　　円の円周の長さ＝おうぎ形の弧の長さなので、
　　　　２π×８×９０３６０
　　　＝４π（ｃｍ）

　　＜円の半径を求める＞
　　　２πｒ＝４π
　　　ｒ＝２（ｃｍ）

　　≪答≫　２ｃｍ

$三平方の定理$

［２］　円すいの高さを求めなさい。

　　展開図を組み立てると、右図のような円すいになる

　　＜円すいの高さを求める＞
　　　円すいの高さをｘｃｍとする
　　　２²＋ｘ²＝８²
　　　ｘ²＝６０
　　　ｘ＝± $平方根$ ６０
　　　ｘ＝±２ $平方根$ １５

　　　ｘ＞０なので、
　　　ｘ＝２ $平方根$ １５

　　≪答≫　２ $平方根$ １５ｃｍ

［３］　円すいの体積を求めなさい。

　　　１３×π×２²×２ $平方根$ １５
　　＝８ $平方根$ １５３π

　　≪答≫　８ $平方根$ １５３π ｃｍ³

$三平方の定理$

【練習問題４】
右図は正四角すいの展開図で、底面の正方形の１辺の長さは４ｃｍ、側面積は２４ $平方根$ ５ｃｍ²である。
このとき、この正四角すいの体積を求めなさい。

　　＜側面の三角形１枚の面積を求める＞
　　　２４ $平方根$ ５÷４＝６ $平方根$ ５

　　＜三角形の高さ（青点線）を求める＞
　　　三角形の高さをｘｃｍとする
　　　１２×４×ｘ＝６ $平方根$ ５
　　　ｘ＝３ $平方根$ ５

$三平方の定理$

　　　★展開図を組み立てると、右の上図の青点線は、右の下図の青点線部分にくる

　　＜正三角すいの高さ（赤点線）を求める＞
　　　正三角すいの高さをｈｃｍとする
　　　２²＋ｈ²＝（３ $平方根$ ５）²
　　　ｈ²＝４１
　　　ｈ＝± $平方根$ ４１

　　　ｈ＞０なので、
　　　ｈ＝ $平方根$ ４１

　　＜正三角すいの体積を求める＞
　　　１３×４×４× $平方根$ ４１
　　＝１６ $平方根$ ４１３

　　≪答≫　１６ $平方根$ ４１３ｃｍ³