中学３年数学練習問題　座標面上の２点間の距離/三平方の定理

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三平方の定理／平面図形への利用（２）

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学３年　数学　～

Lesson 43　　　三平方の定理／平面図形への利用（２）

第７章　三平方の定理

＜前：Ｌ４３- 平面図形への利用(2) の問題　　Ｌ４４- 空間図形への利用(1) の問題：次＞

$三平方の定理$

【練習問題１】
以下の２点間の距離を求めなさい。

［１］　Ａ（２，－３）　Ｂ（２，５）

　　 $平方根$ （２－２）²＋｛５－（－３）｝²
　　＝８

　　≪答≫　８

［２］　Ｃ（－３，４）　Ｄ（－３，－１）

　　 $平方根$ ｛－３－（－３）｝²＋（－１－４）²
　　＝５

　　≪答≫　５

$三平方の定理$

【練習問題２】
以下の２点間の距離を求めなさい。

［１］　Ａ（１，２）　Ｂ（－２，－４）

　　 $平方根$ （－２－１）²＋（－４－２）²
　　＝ $平方根$ （－３）²＋（－６）²
　　＝ $平方根$ ４５
　　＝３ $平方根$ ５

　　≪答≫　３ $平方根$ ５

［２］　Ｃ（－３，５）　Ｄ（４，－２）

　　 $平方根$ ｛４－（－３）｝²＋（－２－５）²
　　＝ $平方根$ ７²＋（－７）²
　　＝ $平方根$ ９８
　　＝７ $平方根$ ２

　　≪答≫　７ $平方根$ ２

【練習問題３】
以下の２点間の距離を求めなさい。

［１］　Ａ（６，－２）　Ｂ（－４，４）

　　 $平方根$ （－４－６）²＋｛４－（－２）｝²
　　＝ $平方根$ （－１０）²＋６²
　　＝ $平方根$ １３６
　　＝２ $平方根$ ３４

　　≪答≫　２ $平方根$ ３４

［２］　Ｃ（－３，－１）　Ｄ（５，－２）

　　 $平方根$ ｛５－（－３）｝²＋｛－２－（－１）｝²
　　＝ $平方根$ ８²＋（－１）²
　　＝ $平方根$ ６５

　　≪答≫　 $平方根$ ６５

【練習問題４】
点Ａの座標が（－２，４）、点Ｂのｘ座標が６で、２点間の距離が１０であるとき、点Ｂのｙ座標を求めなさい。
ただし、点Ｂのｙ座標は負とする。

　　 $平方根$ ｛６－（－２）｝²＋（ｙ－４）²＝１０
　　 $平方根$ ８²＋（ｙ－４）²＝１０

　　両辺を２乗すると
　　８²＋（ｙ－４）²＝１００
　　６４＋ｙ²－８ｙ＋１６＝１００
　　ｙ²－８ｙ－２０＝０

　　二次方程式を因数分解すると、
　　（ｙ＋２）（ｙ－１０）＝０

　　ｙ＋２＝０または、ｙ－１０＝０
　　よって、
　　ｙ＝－２，　ｙ＝１０

　　ｙ＜０なので、
　　ｙ＝－２

　　≪答≫　－２

【練習問題５】
点Ａ，Ｂ，Ｃの座標がそれぞれＡ（０，６），Ｂ（－４，－２），Ｃ（４，－６）のとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　△ＡＢＣはどんな図形になるか答えなさい。

　　＜点Ａ，Ｂの距離を求める＞
　　　 $平方根$ ｛－４－０｝²＋（－２－６）²
　　　＝ $平方根$ １６＋６４
　　　＝ $平方根$ ８０
　　　＝４ $平方根$ ５

　　＜点Ｂ，Ｃの距離を求める＞
　　　 $平方根$ ｛４－（－４）｝²＋｛－６－（－２）｝²
　　　＝ $平方根$ ６４＋１６
　　　＝ $平方根$ ８０
　　　＝４ $平方根$ ５

　　＜点Ａ，Ｃの距離を求める＞
　　　 $平方根$ ｛４－０｝²＋｛－６－６｝²
　　　＝ $平方根$ １６＋１４４
　　　＝ $平方根$ １６０
　　　＝４ $平方根$ １０

　　★上記により、△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＢＣだとわかる

　　＜三平方の定理を使う＞
　　　（４ $平方根$ ５）²＋（４ $平方根$ ５）²＝（４ $平方根$ １０）²
　　　８０＋８０＝１６０

　　★上記により、ＡＢ²＋ＢＣ²＝ＡＣ²が成り立つので、
　　　△ＡＢＣは直角三角形であることがわかる

　　≪答≫　∠Ｂ＝９０°の直角二等辺三角形

［２］　△ＡＢＣの面積を求めなさい。

　　［１］により、∠Ｂ＝９０°なので、
　　　面積＝ＡＢ×ＢＣ÷２
　　　　　＝４ $平方根$ ５×４ $平方根$ ５÷２
　　　　　＝４０

　　≪答≫　４０