中学３年数学練習問題　三平方の定理/平面図形への利用

ＴＯＰ
＞
中学３年　数学　練習問題一覧
＞
三平方の定理／平面図形への利用（１）

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学３年　数学　～

Lesson 42　　　三平方の定理／平面図形への利用（１）

第７章　三平方の定理

＜前：Ｌ４２- 平面図形への利用(1) の問題　Ｌ４３- 平面図形への利用(2) の問題：次＞

【練習問題１】
以下のア，イの四角形について質問に答えなさい。
　　※長さの単位はｃｍとする

（ア）　四角形ＡＢＣＤは正方形

$三平方の定理$

（イ）　四角形ＡＢＣＤは長方形

$三平方の定理$

［１］　ア，イのそれぞれの対角線の長さを求めなさい。
　＜アの対角線を求める＞
　　三平方の定理より
　　１²＋１²＝ｘ²
　　ｘ²＝２
　　ｘ＝± $平方根$ ２

　　ｘ＞０なので、
　　ｘ＝ $平方根$ ２

　＜イの対角線を求める＞
　　三平方の定理より
　　１²＋ $平方根$ ３ ²＝ｘ²
　　ｘ²＝４
　　ｘ＝±２

　　ｘ＞０なので、
　　ｘ＝２

　　≪答≫　ア： $平方根$ ２ｃｍ，　イ：２ｃｍ

［２］　ア：∠ＢＤＣ，イ：∠ＤＢＣと∠ＢＤＣの角度をそれぞれ答えなさい。

　　≪答≫　ア：∠ＢＤＣ＝４５°，　イ：∠ＤＢＣ＝３０°，∠ＢＤＣ＝６０°

$三平方の定理$

【練習問題２】
右図のｘ，ｙ，ｚの長さを求めなさい。

　＜ｘを求める＞
　　△ＢＣＤの∠ＢＤＣ＝６０°で、３つの角度はそれぞれ
　　９０°，６０°，３０°なので、
　　ＣＤ：ＢＣ＝１： $平方根$ ３となる

　　よって、
　　１： $平方根$ ３＝８：ｘ
　　１： $平方根$ ３＝８：ｘ
　　ｘ＝８ $平方根$ ３

　＜ｙを求める＞
　　△ＡＢＣは直角二等辺三角形なので、
　　ＡＢ：ＢＣ＝１： $平方根$ ２となる

　　よって、
　　１： $平方根$ ２＝ｙ：８ $平方根$ ３
　　ｙ＝８ $平方根$ ３ $平方根$ ２

　　有理化すると、
　　ｙ＝４ $平方根$ ６

　＜ｚを求める＞
　　△ＰＡＢも直角二等辺三角形なので、
　　ＰＡ：ＡＢ＝１： $平方根$ ２となる

　　よって、
　　１： $平方根$ ２＝ｚ：４ $平方根$ ６
　　ｚ＝４ $平方根$ ６ $平方根$ ２

　　有理化すると、
　　ｚ＝２ $平方根$ １２
　　　＝４ $平方根$ ３

　　　※ｚの別の解き方
　　　　ＡＰ＝１２ＢＣなので、
　　　　８ $平方根$ ３÷２＝４ $平方根$ ３
　　　　気が付けば、こっちの解き方の方が簡単かもしれませんね！

　　≪答≫　ｘ：８ $平方根$ ３ｃｍ，　ｙ：４ $平方根$ ６ｃｍ，　ｚ：４ $平方根$ ３ｃｍ

【練習問題３】
以下の質問に答えなさい。

　　★図を自分でかいてみてね！

［１］　１辺が４ｃｍの正方形の対角線の長さを求めなさい。

　　対角線の長さをｘｃｍとする
　　１： $平方根$ ２＝４：ｘ
　　ｘ＝４ $平方根$ ２

　　≪答≫　４ $平方根$ ２ｃｍ

［２］　対角線の長さが６ｃｍの正方形の１辺の長さを求めなさい。

　　辺の長さをｘｃｍとする
　　１： $平方根$ ２＝ｘ：６
　　ｘ＝６ $平方根$ ２

　　有理化すると、
　　ｘ＝３ $平方根$ ２

　　≪答≫　３ $平方根$ ２ｃｍ

［３］　縦３ｃｍ，横６ｃｍの長方形の対角線の長さを求めなさい。

　　対角線の長さをｘｃｍとする
　　３²＋６²＝ｘ²
　　ｘ²＝４５
　　ｘ＝±３ $平方根$ ５

　　ｘ＞０なので、
　　ｘ＝３ $平方根$ ５

　　≪答≫　３ $平方根$ ５ｃｍ

［４］　縦４ｃｍ，対角線の長さが８ｃｍの長方形の横の長さを求めなさい。

　　横の長さをｘｃｍとする
　　４²＋ｘ²＝８²
　　ｘ²＝４８
　　ｘ＝±４ $平方根$ ３

　　ｘ＞０なので、
　　ｘ＝４ $平方根$ ３

　　≪答≫　４ $平方根$ ３ｃｍ

【練習問題４】
以下の質問に答えなさい。

［１］　１辺の長さが２ $平方根$ ３ｃｍの正三角形の面積を求めなさい。

　　面積＝ $平方根$ ３４×（２ $平方根$ ３）²
　　　　＝３ $平方根$ ３

　　≪答≫　３ $平方根$ ３ｃｍ²

［２］　１辺の長さが２ $平方根$ ３ｃｍの正三角形の高さを求めなさい。

　　高さ＝ $平方根$ ３２×２ $平方根$ ３
　　　　＝３

　　≪答≫　３ｃｍ

［３］　面積が４ $平方根$ ３ｃｍ²の正三角形の１辺の長さを求めなさい。

　　正三角形の１辺の長さをｘｃｍとする
　　 $平方根$ ３４ｘ²＝４ $平方根$ ３
　　ｘ²＝１６
　　ｘ＝±４

　　ｘ＞０なので、
　　ｘ＝４

　　≪答≫　４ｃｍ

［４］　対角線の長さがそれぞれ６ｃｍ，８ｃｍのひし形の周の長さを求めなさい。

　　ひし形の１辺の長さをｘｃｍとする

　　ひし形の対角線は、それぞれの中点で垂直に交わるので、
　　３²＋４²＝ｘ²
　　ｘ²＝２５
　　ｘ＝±５

　　ｘ＞０なので、
　　ｘ＝５

　　１辺が５ｃｍなので、
　　５×４＝２０

　　≪答≫　２０ｃｍ