中学生 勉強なんて 怖くない
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勉強すれば、必ず力になる。
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勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学２年 数学 ～
Lesson 40 特別な平行四辺形（長方形・ひし形・正方形）
第５章 図形と合同
＜前：Ｌ４０- 特別な平行四辺形 の問題 Ｌ４１- 平行線と面積 の問題：次＞
※証明の方法は、以下の解答の他にも色々あるかもしれないよ！
他の方法を見つけるのもとても勉強になるので、ぜひ探してみてね！
【練習問題１】
以下は四角形について述べたものである。
（ ）にあてはまるものをア～エから選びなさい。
ただし、語句は１回のみの使用とする。
ア：平行四辺形 イ：ひし形 ウ：正方形 エ：長方形
≪答≫
［１］ 対角線の長さが等しい四角形は（ エ：長方形 ）である。
［２］ 対角線が垂直に交わる四角形は（ イ：ひし形 ）である。
［３］ 対角線の長さが等しく、また垂直に交わる四角形は（ ウ：正方形 ）である。
［４］ 長方形、ひし形、正方形は、いずれも（ ア：平行四辺形 ）の性質がある。
【練習問題２】
平行四辺形ＡＢＣ Ｄに以下の条件が加わると、それぞれどんな四角形になるか答えなさい。
ただし、対角線の交点をＯとする。
［１］ ∠Ｂ＝９０°
≪答≫ 長方形
［２］ ∠ＤＯＡ＝９０°
≪答≫ ひし形
［３］ ＡＣ＝ＢＤ
≪答≫ 長方形
［４］ ＡＣ⊥ＢＤ
≪答≫ ひし形
［５］ ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＯ＝ＢＯ
≪答≫ 正方形
［６］ ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ＝ＤＯ
≪答≫ 長方形
［７］ ＡＤ＝Ｃ Ｄ，ＡＣ＝ＢＤ
≪答≫ 正方形
【練習問題３】
右図のひし形ＡＢＣ Ｄの対角線の交点をＯとする。
このとき、ＡＣ⊥ＢＤであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＢＯと△ＡＤＯにおいて、
ひし形の４辺はすべて等しいので、
ＡＢ＝ＡＤ ・・・(1)
平行四辺形の対角線は、それぞれの対角線の中点で交わるので、
ＢＯ＝ＤＯ ・・・(2)
また、ＡＯは共通なので、
ＡＯ＝ＡＯ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、３組の辺がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＯ≡△ＡＤＯ
合同な図形の対応する角は等しいので、
∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＤ
∠ＡＯＢ＋∠ＡＯＤ＝１８０°だから、
∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＤ＝９０°
よって、
ＡＣ⊥ＢＤ
【練習問題４】
右図の正方形ＡＢＣ Ｄの対角線の交点をＯとする。
このとき、以下のことを証明しなさい。
［１］ ＡＣ⊥ＢＤ
≪答≫
△ＡＢＯと△Ｃ ＢＯにおいて、
正方形の４辺はすべて等しいので、
ＡＢ＝Ｃ Ｂ ・・・(1)
平行四辺形の対角線は、それぞれの対角線の中点で交わるので、
ＡＯ＝ＣＯ ・・・(2)
また、ＢＯは共通なので、
ＢＯ＝ＢＯ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、３組の辺がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＯ≡△Ｃ ＢＯ
合同な図形の対応する角は等しいので、
∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＢ
∠ＡＯＢ＋∠ＣＯＢ＝１８０°だから、
∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＢ＝９０°
よって、
ＡＣ⊥ＢＤ
［２］ ＡＣ＝ＢＤ
≪答≫
△ＡＢＣと△ＤＣ Ｂにおいて、
正方形の４つの辺と角はすべて等しいので、
ＡＢ＝ＤＣ ・・・(1)
∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ ・・・(2)
また、ＢＣは共通なので、
ＢＣ＝ＣＢ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ≡△ＤＣ Ｂ
合同な図形の対応する辺は等しいので、
ＡＣ＝ＢＤ
【練習問題５】
右図の長方形ＡＢＣ Ｄの対角線の交点をＯとする。
このとき、ＡＣ＝ＢＤであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＢＣと△ＤＣ Ｂにおいて、
長方形の４つの角はすべて等しいので、
∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ ・・・(1)
平行四辺形の対辺は等しいので、
ＡＢ＝ＤＣ ・・・(2)
また、ＢＣは共通なので、
ＢＣ＝ＣＢ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ≡△ＤＣ Ｂ
合同な図形の対応する辺は等しいので、
ＡＣ＝ＢＤ
【練習問題６】
右図の長方形ＡＢＣ Ｄで、辺ＡＢ，ＢＣ，Ｃ Ｄ，ＤＡの中点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓとする。
このとき、四角形ＰＱＲＳがひし形であることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＰＳと△ＢＰＱにおいて、
長方形の４つの角はすべて等しいので、
∠Ａ＝∠Ｂ ・・・(1)
点ＰはＡＢの中点なので、
ＡＰ＝ＢＰ ・・・(2)
また、点Ｓ，ＱはそれぞれＡＤ，ＢＣの中点なので、
ＡＳ＝ＢＱ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＰＳ≡△ＢＰＱ ・・・(4)
同様にして、
△ＡＰＳ≡△Ｃ ＲＱ ・・・(5)
△ＡＰＳ≡△ＤＲＳ ・・・(6)
(4)，(5)，(6)より、
△ＡＰＳ≡△ＢＰＱ≡△Ｃ ＲＱ≡△ＤＲＳ
よって、
ＰＳ＝ＰＳ＝ＲＱ＝ＲＳ
４つの辺がすべて等しいので、
四角形ＰＱＲＳはひし形である
【練習問題７】
右図の△ＡＢＣ の∠Ａの二等分線と辺ＢＣとの交点をＰとし、
点Ｐから辺ＡＢ，ＡＣと平行な線をひき、交点をそれぞれ点Ｑ，Ｒとする。
このとき、四角形ＡＱＰＲがひし形であることを証明しなさい。
≪答≫
△ＱＡＰと△ＲＡＰにおいて、
ＡＱ∥ＲＰ，ＡＲ∥ＱＰで錯角は等しいので、
∠ＱＡＰ＝∠ＲＰＡ ・・・(1)
∠ＱＰＡ＝∠ＲＡＰ ・・・(2)
ＡＰは共通なので
ＡＰ＝ＡＰ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ＱＡＰ≡△ＲＡＰ
ここで、仮定より、
∠ＱＡＰ＝ＲＡＰなので、
(1)，(2)より、
∠ＱＡＰ＝∠ＲＰＡ＝∠ＱＰＡ＝∠ＲＡＰ
△ＱＡＰは∠ＱＡＰと∠ＱＰＡを、
△ＲＡＰは∠ＲＡＰと∠ＲＰＡを
底角とする二等辺三角形なので、
ＱＡ＝ＱＰ＝ＲＡ＝ＲＰ
４つの辺がすべて等しいので、
四角形ＡＱＰＲはひし形である
【練習問題８】
右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄで、４つの内角の二等分線に囲まれてできる四角形ＰＱＲＳが長方形であることを証明しなさい。
≪答≫
ＡＤ∥ＢＣなので、
∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＤ＝１８０°
だから、
∠ＡＢＳ＋∠ＢＡＳ＝１８０°÷２＝９０°
よって、
∠ＡＳＢ＝１８０°－９０°＝９０°
対頂角は等しいので、
∠ＲＳＰ＝∠ＡＳＢ＝９０°
同様にして、
∠ＲＳＰ＝∠ＳＰＱ＝∠ＰＱＲ＝∠ＱＲＳ＝９０°
４つの角がすべて等しいので、
四角形ＰＱＲＳは長方形である
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